John i Joan odpoczywali na trawniku w parku - być może po partii tenisa - i oglądali stokrotki. Zaczęli o nich rozmawiać i Joan opowiedziała, jak uczono ją zapisywać i klasyfikować układ liści w roślinach: posuwając się wzdłuż łodygi w górę, należało policzyć liście i obroty wokół łodygi, poprzedzające dojście do liścia, znajdującego się bezpośrednio nad punktem wyjścia. Otrzymane liczby układają się zwykle w ciąg Fibonacciego.

John jako matematyk interesujący się roślinami wiedział o tej prawidłowości. U roślin wydają się istnieć pewne stałe proporcje w rozkładzie liści i płatków na łodydze, odpowiadające ciągowi liczb naturalnych, zaczynający się od liczb 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,..., każda kolejna liczba w ciągu jest sumą dwóch poprzednich.

Kiedy Joan zaczęła przyglądać się mrówce biegnącej po naskórku własnej ręki, John wyciągnął z kieszeni szyszkę jodłową, na której można było znaleźć liczby Fibonacciego.

Joan zwróciła uwagę, że to samo można zauważyć na pojedynczych kwiatkach stokrotki rosnących obok koca.

W przypadku stokrotek trudniej odkryć, jak należy liczyć płatki, więc Joan zaczęła się zastanawiać, czy przypadkiem liczby Fibonacciego nie są skutkiem obranej metody zliczania.

Pamiętała, że podobny pogląd ogłosił biolog D'Arcy Thompson, w klasycznym dziele Growth and Form (Wzrost i kształt), opublikowanym w 1917 roku.

Podobne prawidłowości matematyczne w przyrodzie wydają się urzekające i pociągające dla wielu matematyków, w odróżnieniu od nich Thompson zwalczał w wspomnianym dziele myśl, iżby liczby miały jakiekolwiek znaczenie w przyrodzie.

Wspólnie z John narysowali kilka wykresów, by sprawdzić swoją hipotezę, lecz nie zadowoliło to Johna, rozmyślającego dalej o tym, "jak rosną stokrotki".



Przykład 1.



Biorąc zwykłe kółeczko do kluczy (jak na zdjęciu, tylko nierozciągnięte), załóżmy je na wskazujący palec, tak jak pierścień.

Przekręćmy je na palcu.



Możemy widzieć, że nasze kółeczko składa się z dwóch zwojów (Rysunek A), niektórzy przed sobą będą mieli jeden zwój zamknięty (Rysunek B).
Następnie, przekręćmy kółeczkiem tak jak pierścieniem wokół palca. W pewnym momencie zauważamy, że zmienia się liczba zwojów.

Ci którzy widzieli wcześniej dwa zwoje, po przekręceniu na kółeczku widzieć będą jeden zwój zamknięty (Rysunek B), którego końce jeszcze się ciągną, z tego powodu może się wydawać że są to dwa zwoje, gdzie jak widać końce kółeczka nie schodzą się ze sobą.

W przypadku osób, które widziały wcześniej jeden zwój zamknięty sytuacja wyglądać będzie na odwrót, obecnie nalicza się na kółeczku dwa zwoje (Rysunek A).

Równocześnie można twierdzić, że:
- kółeczko do kluczy składa się z dwóch zwojów
- kółeczko do kluczy, składa się jednego zwoju, którego końce jeszcze się ciągną, z tego powodu może się wydawać że są to dwa zwoje, gdzie jak widać końce kółeczka nie schodzą się ze sobą..

Przykład 2.

Włóżmy do dłoni trzy kłosy żyta.

Ta dłoń, przyjmijmy, że jej granice zamykają pewien świat albo fragment świata (DŁOŃ).

Każdy kłos żyta stanowi indywiduum. Skoro tak, zatem w DŁONI mamy przynajmniej trzy indywidua kłos1, kłos2, kłos3.

Ile przedmiotów znajduje się w tym świecie?
Można uznać za synonimy wyrazy "indywiduum" , "przedmiot" , "konkret" itd.
Wówczas, uznajemy, że ta dłoń zawiera trzy przedmioty. Istnieją wszakże zupełnie poprawne doktryny logiczne z których wynika co innego.

Podobnie jak ziaren piasku nie traktujemy z osobna (ziarenko1, ziarenko2, ziarenko3 itd.), ale wspólnie nazywamy piaskiem, podobnie w przypadku dwóch kłosów żyta, często nie jesteśmy zainteresowani pojedynczym kłosem. Nie ma żadnej zobowiązującej zasady, która zabraniałaby przyjąć, że najmniejsza jednostką do policzenia jest dwu-kłos,trzy-kłos.

Umieszczając dwa kłosy w polu percepcyjny, na wysokości oczu, zauważamy, istniejące między nimi ścisłe podobieństwo. Sądzimy że są to oddzielne indywidua, kiedy jeden kłos unosimy w ręce prawej, drugi w lewej. Wydaje się, że są to dwa przedmioty, ponieważ są rozdzielne i przestrzennie niestyczne.

Wyłuskując z każdego z kłosów ziarna, okazuje się, że według tego kryterium, w naszych dłoniach mieliśmy więcej rozdzielnych i obecnie przestrzennie niestycznych przedmiotów.
Przeszliśmy do innego schematu.

Schematy są różne. Niektórzy logicy uważają, że dla dwóch dowolnych konkretów istnieje przedmiot będący ich sumą. Według tych logików świat-DLOŃ, na który składają się "trzy indywidua" (kłos1, kłos2, klos3) zawiera właściwie siedem przedmiotów ( kłos1, kłos2, kłos3 oraz przedmiot kłos1 + klos2, oraz przedmiot klos1 + kłos3, oraz przedmiot kłos2 + kłos3, oraz przedmiot kłos1 + kłos2 + kłos3).

Niektórzy ludzie - a w szczególności mowa tu o logikach - przyjmują, iż powyższy zespół przedmiotów, uzupełnia "przedmiot pusty", będący logicznym uzupełnieniem pozostałych. "Przedmiot pusty" jest częścią dowolnego przedmiotu. Gdyby przyjąć ich sugestię i dołączyć owe indywiduum (nazwijmy je 0), należałoby wówczas powiedzieć, że świat-DŁOŃ zawiera osiem przedmiotów.

Na poziomie potocznym również przeskakujemy między takimi schematami.

Wygląda tak, jakby rzeczywistość można było opisać na parę alternatywnych sposobów matematycznych, a przyjęta metoda zliczania wpływa na wynik. Nie ma, zatem absolutnej matematycznej rzeczywistości.

Ktoś rzuci: - A zatem wszystko jest relatywne!
Nie. Ja i ty może jesteśmy połączeni wspomnianymi schematami.
Dajmy na to "sprawiedliwość", niektórzy fizjologowie przyjęli przypisywać części mózgu znajdującej się nad łukami brwiowymi. Mylą się, jej zalążek znajduje się raczej w tylniej części mózgu.
"Sprawiedliwość" ma swe korzenie w postrzeganiu symetrii. Mówi się, że sprawiedliwość jest różnie rozumiana przez różnych ludzi, żyjących w różnych kulturach.
Kiedy jednak odetnę cię od kultury i spojrzysz jak fotograf na dwa perspektywicznie ciągnące się rzędy drzew, po lewej i po prawej stronie drogi pobudzisz symetrię i poznasz czym jest sprawiedliwość.



[David Hume mylił się co do nieobserwowalności związku przyczynowo-skutkowego, mylił się również kwestionując możliwość wyciągania z tego "jak jest" tego "jak powinno być". ]

W przyrodzie zdajemy się znajdywać potwierdzenie używanych przez nas schematów. Schematy przykładowo matematyczne zdają się prowadzić do takich samych wyników mimo zmiany metody, po której do owych wyników dochodzimy np. -1 x -1 oraz 1 x 1 dają w obu przypadkach 1.

Stwarza to złudzenie, że wyniki istnieją na zewnątrz dotychczasowych równań.

Dodatek

Jak rozumieć schematy?

Przydatna jest tu analogia z śrubami i nakrętkami. Do demonstrowania bardzo przydatne są duże plastikowe śruby, stanowiące element zestawu do zabawy dla dzieci. Przy demonstracji warto posmarować śrubę olejem, wówczas zwykły nacisk palcem przy jednoczesnym przytrzymaniu nakrętki spowoduje wsunięcie się śruby w gwint, powinien temu towarzyszyć wymuszony obrót śruby, w jednym kierunku.



Eksperymentator usytuowany od lewej strony usiłuje przemieścić śrubę w stosunku do nieruchomej nakrętki przytrzymywanej w palcach, w kierunku wskazanym przez strzałkę (---> ). Dokonać tego można przez wkręcanie śruby w nakrętkę zgodnie z kierunkiem obrotów wskazówek zegara. Odwrócenie modelu o 180 stopni nie zmienia rezultatu doświadczenia; śruba również i tym razem obraca się "w prawo"! Wynik tego doświadczenia powinien być oczywisty, z reguły jednak jest zaskakujący dla słuchaczy.

Wyobraźnia przestrzenna u wielu ludzi jest mało rozwinięta. Przykładem może być myślowy eksperyment z montażem prawoskrętnej śruby z lewoskrętną nakrętką [lewoskrętny gwint -schemat]. Najczęściej przypuszcza się, że w tym celu należy po prostu odwrócić nakrętkę [gdzie kierunek gwintu -schemat pozostawiamy], lub zmienić kierunek obracania śruby. Fakt, że takich elementów nie da się połączyć w żaden sposób, jest dla wielu ludzi również zaskakujący... A przecież zupełnie podobnie: prawej rękawiczki nie da się w żaden sposób dopasować do lewej dłoni...

[Wraz z obrotem śruby zmienia się położenie nakrętki, gwint -schemat- pozostaje ten sam. A więc i dalej śruba kręci się w tą samą stronę.]

POŁOŻENIE (w przestrzeni) OBSERWATORA NIC NIE MA TU DO RZECZY!

Czy to podczas transakcji ekonomicznych, czy rozwiązywania problemów gospodarczych, przykładowo praktykowanego już od czasów starożytnych zliczania rocznego plonu, urzędnicy, nadzorcy, ekonomiści korzystali i korzystają z matematyki.
Większość z nich jest przekonana, że za pomocą matematyki można w pełni opisać przyrodę, co więcej niektórzy sądzą, że matematyka spoczywa w porządku odkrytym wszechświata.
Na początku astronomowie, geometrzy wierzyli, że odkrywają prawa wszechświata, dopiero z czasem pojawia się u nich refleksja nad samym narzędziem, metodą, którą dotychczas bezwiednie stosowali. Człowiek poddający refleksji własne poznanie, zadaje pytanie: W jaki sposób świat, który widzę, świat, który znam, zależy od metody, narzędzia, zmysłów, intelektu, których używam do poznania?

|powrót do strony głównej|